Äquivalenz

Gleichwertigkeit; Gegenwert

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Äqui|va|lẹnz 〈[ -va-] f. 20; unz.〉 Gleichwertigkeit [→ äquivalent]

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Äqui|va|lẹnz, die; -, -en [mlat. aequivalentia]:

1. (bildungsspr.) Gleichwertigkeit:

die Ä. zweier Begriffe, verschiedener Tauschobjekte.

2. (Logik) Gleichwertigkeit des Wahrheitsgehaltes, der Bedeutung zweier Aussagen.

3. (Math.) Gleichwertigkeit zweier Mengen, die dann besteht, wenn es sich um Mengen gleicher ↑ Mächtigkeit (4) handelt.

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I

Äquivalẹnz

 

die, -/-en,  

 1) allgemein: Gleichwertigkeit, Entsprechung.

 

 2) Informatik: eine Verknüpfungsfunktion der Schaltalgebra; wird durch Äquivalenzglieder realisiert.

 

 3) Logik: eine logische Relation zwischen zwei Aussagen, Prädikaten, Sätzen u. a., die vorliegt, wenn für beide wechselseitig die logische Ableitung auseinander möglich ist. Zwei Aussagen A und B sind also (logisch) äquivalent, wenn sie sich wechselseitig logisch implizieren, d. h. wenn gilt: »Aus A folgt B und aus B folgt A« (in Zeichen: A⇔B). Andere Formulierungen für logische Äquivalenz sind die auch als Äquijunktion oder Bijunktion bezeichneten Aussageformen: »A genau dann, wenn B« (im Englischen: »A iff B«, mit iff = if and only if), oder »B ist notwendig und hinreichende Bedingung für A«. Beispiel aus der ebenen Geometrie: Die Aussage »Ein Dreieck ist gleichseitig« ist äquivalent zur Aussage »Ein Dreieck ist gleichwinklig«. Dieses Beispiel macht deutlich, dass die A. streng genommen eine dreistellige Relation der Form »x äquivalent y in Bezug auf z« ist: Die Prädikate »gleichseitiges Dreieck« und »gleichwinkliges Dreieck« für x und y treffen auf ein und dieselbe Klasse z von Dingen (hier: Dreiecke) zu. Wenn z dadurch festgelegt wird, dass sich die Gleichwertigkeit auf die Wahrheit beziehen soll, können für x und y nur Aussagen eingesetzt werden.

 

Nach der semantischen Definition liegt Äquivalenz vor für zwei logisch verknüpfte Aussagen A und B, die unter denselben Interpretationen wahr und unter denselben falsch werden, woraus sich ergibt, dass sie äquivalent sind, wenn ihr Bikonditional »A genau dann, wenn B« (in Zeichen: A↔B) logisch wahr ist. Allgemein werden Relationen äquivalent genannt, wenn sie reflexiv und euklidisch sind.

 

 4) Mengenlehre: Zwei Mengen M₁ und M₂ heißen äquivalent oder gleichmächtig (in Zeichen: M₁∼M₂), wenn es eine bijektive Abbildung zwischen M₁ und M₂ gibt. So sind z. B. die Menge der geraden natürlichen Zahlen {2, 4, 6,. ..} und die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen {1, 3, 5,. ..} äquivalent. Es gilt der bernsteinsche Äquivalenzsatz (nach Felix Bernstein, * 1878, ✝ 1956): Wenn von zwei Mengen jede einer Teilmenge der anderen äquivalent ist, so sind die beiden Mengen selbst äquivalent.

 

 5) Physik: 1) die Gleichwertigkeit von Arbeit und Wärmeenergie (Thermodynamik, mechanisches Wärmeäquivalent); 2) die Gleichwertigkeit von Masse und Energie (Masse-Energie-Äquivalenz); 3) die Gleichheit von träger und schwerer Masse (Eötvös-Versuch, Relativitätstheorie).

 

 6) Psychologie: die Gleichwertigkeit von einander ähnlichen (äquivalenten) Reizen, die einander ersetzen und gleichartige Reaktionen hervorrufen können. Als äquivalent werden auch vergleichbare Testaufgaben, z. B. Paralleltests, die zur Prüfung der Reliabilität auf dasselbe Merkmal gerichtet sind, bezeichnet.

II

Äquivalenz

 

[engl. equivalence; Abk. eqv], ein logischer Operator, der eine Wenn-gleich-Verknüpfung repräsentiert. Der Operator gibt den Wert »wahr« (bzw. 1) zurück, wenn alle Eingangswerte übereinstimmen, und den Wert »falsch« (bzw. 0), wenn die Eingangswerte unterschiedlich sind. Die Tabelle zeigt die Ergebnisse der Verknüpfung von a und b im Einzelnen.

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Äqui|va|lẹnz, die; -, -en [mlat. aequivalentia]: 1. (bildungsspr.) Gleichwertigkeit; Wertgleichheit: die Ä. zweier Begriffe, verschiedener Tauschobjekte. 2. (Logik) Gleichwertigkeit des Wahrheitsgehaltes, der Bedeutung zweier Aussagen. 3. (Math.) Gleichwertigkeit zweier Mengen, die dann besteht, wenn es sich um Mengen gleicher ↑Mächtigkeit (4) handelt.